Come siamo arrivati all'idea di onda
Il concetto di onda non è nato in un laboratorio: è nato guardando l'acqua. Chi osserva un sasso cadere in uno stagno vede una perturbazione che si allarga in cerchi mentre un galleggiante, sulla superficie, si limita a salire e scendere. Quel galleggiante è la prima lezione di fisica delle onde: si propaga la perturbazione, non la materia. Tutto quello che studierai in questa app è, in fondo, l'elaborazione matematica di quella osservazione.
Corde, numeri e il primo laboratorio di acustica
Già la scuola pitagorica (VI secolo a.C.) aveva scoperto, con il monocordo, che gli intervalli musicali consonanti corrispondono a rapporti semplici fra lunghezze di corda: 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta. Era un risultato sperimentale corretto, ma interpretato in chiave numerologica; mancava l'idea che il suono fosse un movimento. L'intuizione arriva con gli Stoici e viene formulata con chiarezza dall'architetto romano Vitruvio (I secolo a.C.), che nel De architectura paragona esplicitamente la voce che si diffonde nel teatro alle onde circolari sull'acqua — e da quell'analogia ricava criteri di progettazione acustica.
Il Seicento: il suono diventa misurabile
La svolta è seicentesca. Galileo Galilei, nei Discorsi (1638), lega in modo esplicito l'altezza di un suono alla frequenza delle vibrazioni, mostrando con lo scalpello sul metallo e con le corde che a "vibrazioni più fitte" corrisponde un suono più acuto. Negli stessi anni Marin Mersenne stabilisce le leggi delle corde vibranti (la frequenza cresce con la tensione, diminuisce con lunghezza e densità) e realizza la prima misura ragionevole della velocità del suono in aria, cronometrando l'intervallo fra il lampo e il rimbombo di un'arma da fuoco a distanza nota. Poco dopo Robert Boyle mostra che una campanella suonata dentro un recipiente in cui si fa il vuoto smette di farsi sentire: il suono, a differenza della luce, ha bisogno di un mezzo.
Resta un problema aperto per un secolo. Isaac Newton ricava teoricamente la velocità del suono nei Principia (1687), ma il suo valore è circa il 15% più basso di quello misurato. La discrepanza viene risolta solo nel 1816 da Pierre-Simon Laplace: le compressioni e rarefazioni sonore sono così rapide che il gas non ha tempo di scambiare calore, quindi il processo è adiabatico e non isotermo. È un esempio istruttivo di come un errore quantitativo persistente sia il sintomo di un modello fisico incompleto, non di una misura sbagliata.
Il dibattito onda/particella
Parallelamente, sulla natura della luce si consuma la controversia più lunga della fisica. Christiaan Huygens (1690) propone un modello ondulatorio con il suo principio delle sorgenti secondarie, che spiega elegantemente riflessione e rifrazione; Newton preferisce un modello corpuscolare, anche perché la luce sembra non aggirare gli ostacoli come fa il suono. L'autorità di Newton congela la questione per un secolo, finché nel 1801 Thomas Young realizza l'esperimento della doppia fenditura: due fasci di luce che si sommano possono dare buio. Un fenomeno del genere è inspiegabile con proiettili e naturale con onde — l'interferenza diventa la firma inconfondibile del comportamento ondulatorio, quella che riconoscerai anche nei battimenti sonori. Augustin Fresnel completa l'impianto matematico negli anni Venti dell'Ottocento.
La storia però non finisce lì, e vale la pena saperlo: fra il 1900 e il 1924, con Planck, Einstein e de Broglie, si scopre che la contrapposizione era mal posta. Luce e materia mostrano, a seconda dell'esperimento, proprietà ondulatorie o corpuscolari. Le onde meccaniche che studi qui restano descritte perfettamente dalla fisica classica: sono però il vocabolario — lunghezza d'onda, frequenza, interferenza — con cui è stata scritta anche la meccanica quantistica.
Vedere le vibrazioni: Chladni
Nel 1787 Ernst Chladni pubblica un'idea semplice e spettacolare: cosparge di sabbia fine una lastra metallica e la fa vibrare con un archetto. La sabbia viene espulsa dalle zone che oscillano e si accumula lungo le linee ferme, disegnando figure geometriche regolari che cambiano al cambiare della frequenza. Sono i nodi dei modi normali della lastra, resi visibili. Chladni portò le sue lastre in tournée per l'Europa fino a Napoleone; il problema matematico che aveva posto — prevedere quelle figure — fu risolto da Sophie Germain, con un lavoro sulle superfici elastiche premiato dall'Académie nel 1816. Quando nella quarta area vedrai i modi normali di una corda, ricorda che stai guardando la versione unidimensionale delle figure di Chladni.
Doppler e la verifica sui binari
Nel 1842 Christian Doppler, a Praga, pubblica Über das farbige Licht der Doppelsterne: se sorgente e osservatore sono in moto relativo, la frequenza ricevuta differisce da quella emessa. Doppler pensava soprattutto alla luce delle stelle e su quel punto sbagliava alcune conclusioni, ma il meccanismo per il suono era corretto. La verifica sperimentale, nel 1845, è rimasta celebre: il meteorologo olandese Christophorus Buys Ballot fece sistemare dei trombettisti su un vagone della linea Utrecht-Amsterdam, con altri musicisti a bordo binario incaricati di annotare la nota percepita al passaggio. Lo scarto di altezza era esattamente quello previsto. Oggi lo stesso effetto misura la velocità del sangue con l'ecodoppler e l'espansione dell'universo con il redshift.
Helmholtz: dall'orecchio alla matematica
Il quadro moderno dell'acustica lo costruisce Hermann von Helmholtz con Die Lehre von den Tonempfindungen (1863). Helmholtz, medico e fisico, mostra che il timbro — ciò che distingue un violino da un flauto sulla stessa nota — dipende dalle ampiezze relative delle armoniche superiori, cioè dalla scomposizione in serie di Fourier dell'onda sonora; costruisce risuonatori sferici per isolare singole componenti e propone una teoria della risonanza dell'orecchio interno che è l'antenata delle nostre conoscenze sulla coclea. Con Helmholtz l'acustica diventa fisica matematica e fisiologia insieme. Poco dopo Lord Rayleigh sistema l'intera disciplina nei due volumi di The Theory of Sound (1877-78), e all'inizio del Novecento Wallace Sabine fonda l'acustica architettonica misurando il tempo di riverbero delle sale.
Molti passaggi di questa storia sono durati decenni perché richiedevano di immaginare la somma di due grandezze che variano nel tempo. Se interferenza e battimenti ti sembrano astratti al primo incontro, sei in ottima compagnia: è una difficoltà di rappresentazione, non di calcolo. Le simulazioni di questa app servono esattamente a questo — far vedere in movimento ciò che le formule descrivono.
Onde meccaniche: definizioni e grandezze
Un'onda meccanica è la propagazione di una perturbazione in un mezzo elastico. Il punto essenziale, e quello che sfugge più spesso, è questo: le particelle del mezzo oscillano attorno alla propria posizione di equilibrio e non accompagnano l'onda. Ciò che viaggia è lo stato di perturbazione, e con esso energia e quantità di moto. Il tappo di sughero sull'acqua sale e scende mentre l'onda passa oltre; il tuo timpano vibra avanti e indietro mentre il suono prosegue nella stanza.
Onde trasversali e longitudinali
- Trasversali: le particelle oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione (corda scossa, onde sismiche S, onde elettromagnetiche — queste ultime non meccaniche). Richiedono che il mezzo resista allo scorrimento: per questo non si propagano nei fluidi.
- Longitudinali: le particelle oscillano lungo la direzione di propagazione, generando compressioni e rarefazioni (molla slinky, suono, onde sismiche P). Si propagano in solidi, liquidi e gas.
Alcune onde reali sono miste: le onde sul mare in acqua profonda fanno descrivere alle particelle traiettorie circolari, combinazione delle due componenti.
L'onda armonica
Se la sorgente compie un moto armonico semplice, ogni punto del mezzo compie a sua volta un moto armonico semplice, ritardato rispetto alla sorgente. La descrizione matematica di un'onda armonica progressiva che viaggia nel verso positivo dell'asse \(x\) è
dove \(y\) è lo spostamento dall'equilibrio (trasversale o longitudinale a seconda del caso), \(A\) l'ampiezza, \(k\) il numero d'onda, \(\omega\) la pulsazione, \(\varphi_0\) la fase iniziale. Il segno meno davanti a \(\omega t\) indica propagazione verso \(x\) crescenti: per un'onda regressiva si usa \(kx+\omega t\).
Le grandezze caratteristiche
| Grandezza | Simbolo | Definizione | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Ampiezza | A | massimo spostamento dall'equilibrio | m |
| Lunghezza d'onda | λ | periodo spaziale: distanza fra due punti in fase | m |
| Periodo | T | durata di un'oscillazione completa | s |
| Frequenza | f = 1/T | oscillazioni al secondo | Hz |
| Pulsazione | ω = 2πf | frequenza angolare | rad/s |
| Numero d'onda | k = 2π/λ | fase per unità di lunghezza | rad/m |
| Velocità di propagazione | v | velocità del profilo d'onda | m/s |
Dalla condizione che il profilo avanzi di una lunghezza d'onda in un periodo segue la relazione fondamentale:
La velocità \(v\) è determinata solo dalle proprietà del mezzo; la frequenza \(f\) è imposta solo dalla sorgente. Di conseguenza, quando un'onda passa da un mezzo a un altro la frequenza resta invariata e a cambiare è la lunghezza d'onda, secondo \(\lambda=v/f\).
L'errore più diffuso nasce dal leggere \(v=\lambda f\) come se fosse una relazione di causa ed effetto, e concludere che aumentando la frequenza aumenti anche la velocità. Non è così: delle tre grandezze, quelle indipendenti sono \(v\) (fissata dal mezzo) e \(f\) (fissata dalla sorgente), mentre a dipendere da entrambe è \(\lambda\). Conviene perciò tenere a mente la relazione nella forma \(\lambda=v/f\), che rende esplicito chi determina che cosa: raddoppiando la frequenza si dimezza la lunghezza d'onda, e la velocità resta la stessa.
Velocità in una corda tesa
con \(F\) tensione della corda e \(\mu\) densità lineare di massa (kg/m). La struttura della formula si ritrova in tutti i mezzi elastici: al numeratore una grandezza che misura la rigidità (forza di richiamo), al denominatore una che misura l'inerzia.
L'equazione delle onde
Conviene partire dal significato della scrittura \(y=f(x-vt)\), che nei testi compare spesso senza commento. Immagina di fotografare la corda all'istante \(t=0\): ottieni un profilo \(y=f(x)\), di forma qualunque. Se un istante dopo quella forma si è spostata rigidamente verso destra di un tratto \(vt\), senza deformarsi, il valore che prima si trovava in \(x\) ora si trova in \(x+vt\); per ritrovarlo in una data posizione bisogna quindi valutare \(f\) un tratto \(vt\) più indietro, cioè in \(x-vt\). Ne segue che qualunque funzione il cui argomento sia la combinazione \(x-vt\) descrive un profilo che trasla con velocità \(v\) verso le \(x\) crescenti, e \(x+vt\) uno che trasla verso sinistra. L'onda armonica non è che il caso particolare in cui quel profilo è una sinusoide: infatti \(kx-\omega t=k\,(x-vt)\) non appena \(v=\omega/k\).
Tutte le funzioni di questa forma, e soltanto esse, soddisfano l'equazione di d'Alembert:
Le due scritture \(\partial^2 y/\partial x^2\) e \(\partial^2 y/\partial t^2\) sono derivate seconde parziali: la prima si calcola congelando il tempo e guardando come varia \(y\) lungo la corda, la seconda congelando la posizione e guardando come varia \(y\) nel tempo per un singolo punto.
Letta così, l'equazione è semplicemente la seconda legge di Newton scritta per un mezzo continuo. A destra compare l'accelerazione trasversale di un elemento di corda; a sinistra la sua curvatura. Un tratto di corda perfettamente rettilineo è tirato alle due estremità da forze uguali e opposte, che si annullano: quel tratto non accelera. Se invece è incurvato, le due tensioni non sono più allineate e la loro risultante lo richiama verso l'equilibrio, tanto più intensamente quanto più la curvatura è pronunciata. L'equazione dice esattamente questo — accelerazione proporzionale alla curvatura — e la costante di proporzionalità è \(1/v^2\), che per la corda vale \(\mu/F\): da qui si ritrova \(v=\sqrt{F/\mu}\).
Un dettaglio con conseguenze grandi: l'equazione è lineare, cioè contiene \(y\) e le sue derivate solo alla prima potenza, senza quadrati né prodotti fra loro. Ne segue che se \(y_1\) e \(y_2\) sono soluzioni, lo è anche qualunque loro combinazione \(a\,y_1+b\,y_2\): sostituendola nell'equazione le derivate si distribuiscono sui due addendi, e ciascuno la soddisfa per conto proprio. È la giustificazione formale del principio di sovrapposizione, su cui si regge tutta l'area dedicata a interferenza e battimenti. Vale la pena aggiungere che si tratta di una proprietà del modello, non di un dogma: per ampiezze molto grandi i termini che abbiamo trascurato non sono più trascurabili, l'equazione smette di essere lineare e le onde cominciano davvero a disturbarsi a vicenda.
Energia trasportata
Ogni elemento del mezzo oscilla, e possiede quindi energia cinetica ed energia potenziale elastica. Per un'onda armonica su una corda, la somma delle due, mediata su un periodo e riferita all'unità di lunghezza, vale
Poiché la perturbazione avanza con velocità \(v\), nell'intervallo \(dt\) attraversa una data sezione tutta l'energia contenuta nel tratto lungo \(v\,dt\). Dividendo per \(dt\) si ottiene la potenza media trasportata:
dove \(\mu\) è la densità lineare di massa, \(v\) la velocità di propagazione, \(\omega=2\pi f\) la pulsazione e \(A\) l'ampiezza. Le parentesi \(\langle\ \rangle\) indicano la media su un periodo: la potenza istantanea infatti oscilla, e si annulla negli istanti in cui l'elemento di corda si trova alla massima elongazione, dove la sua velocità è nulla.
Un punto che di solito sorprende: in un'onda progressiva l'energia cinetica e quella potenziale di ciascun elemento sono in fase, entrambe massime al passaggio per la posizione di equilibrio ed entrambe nulle alla massima elongazione. Un pendolo isolato si comporta all'opposto. La differenza è che l'elemento di corda non è isolato: riceve energia da chi lo precede e la cede a chi lo segue, ed è proprio questo passaggio continuo a costituire il trasporto.
Al di là dei passaggi, la cosa da ritenere è la dipendenza: l'energia trasportata è proporzionale al quadrato dell'ampiezza e al quadrato della frequenza. Raddoppiare l'ampiezza quadruplica l'energia; raddoppiare la frequenza, a parità di ampiezza, la quadruplica allo stesso modo. Ritroverai la medesima proporzionalità nell'intensità delle onde sonore.
Fronti d'onda
Il luogo dei punti che oscillano in fase è un fronte d'onda. Una sorgente puntiforme in tre dimensioni genera fronti sferici; a grande distanza una porzione di fronte sferico è ben approssimata da un'onda piana. I raggi sono le linee perpendicolari ai fronti e indicano la direzione di propagazione.
Generatore di onde
Osserva come cambiano forma d'onda e grandezze caratteristiche. I punti evidenziati mostrano il moto delle singole particelle del mezzo: nota che oscillano sul posto mentre il profilo avanza.
Il riquadro inferiore, quando attivo, registra lo spostamento del punto arancione in funzione del tempo: lì il periodo spaziale λ diventa il periodo temporale T. Sono due grafici diversi della stessa onda, e confonderli è un classico: sull'asse orizzontale c'è x nel primo, t nel secondo.
Esercizi
Prova a risolvere con carta e penna prima di aprire il suggerimento. Il suggerimento indica la strada, la soluzione mostra i passaggi.
Onde sonore
Il suono è un'onda meccanica longitudinale di pressione. La sorgente vibrando comprime lo strato d'aria adiacente; quello strato, comprimendosi, spinge il successivo, e la perturbazione si propaga come una successione di compressioni (pressione maggiore di quella atmosferica) e rarefazioni. Nel vuoto non c'è nulla da comprimere: il suono non si propaga.
Si può descrivere l'onda con lo spostamento delle particelle \(s(x,t)=s_0\sin(kx-\omega t)\) oppure con la sovrappressione \(\Delta p(x,t)=\Delta p_0\cos(kx-\omega t)\). Le due descrizioni sono sfasate di \(\pi/2\): dove lo spostamento è massimo la sovrappressione è nulla, e viceversa. Le compressioni massime si trovano nei punti dove le particelle sono ferme.
Velocità del suono
Nei fluidi, con \(B\) modulo di compressibilità adiabatica e \(\rho\) densità:
Per un gas ideale la relazione diventa particolarmente utile:
con \(T\) temperatura assoluta e \(M\) massa molare. Ne seguono due conseguenze importanti: la velocità del suono in aria cresce con la radice della temperatura assoluta e non dipende dalla pressione (aumentando la pressione aumenta anche la densità, e l'effetto si compensa). Un'utile approssimazione lineare fra 0 e 30 °C:
| Mezzo | v (m/s) | Nota |
|---|---|---|
| Aria, 0 °C | 331 | gas: bassa rigidità |
| Aria, 20 °C | 343 | valore di riferimento nei problemi |
| Elio, 20 °C | 1005 | M piccola → v grande |
| Acqua, 20 °C | 1480 | liquido: B molto maggiore |
| Legno | 3300–4000 | — |
| Acciaio | 5940 | solido molto rigido |
La regola generale è solidi > liquidi > gas: passando ai solidi la rigidità cresce molto più di quanto cresca la densità.
Intensità e livello sonoro
L'intensità è la potenza che attraversa l'unità di superficie perpendicolare alla propagazione. Per una sorgente puntiforme che irradia in modo isotropo potenza \(P\) in un mezzo non assorbente:
L'intensità decresce con l'inverso del quadrato della distanza ed è proporzionale al quadrato dell'ampiezza: \(I\propto \Delta p_0^{2}\). L'orecchio umano copre un intervallo di intensità enorme (dodici ordini di grandezza) e risponde in modo approssimativamente logaritmico: per questo si usa il livello di intensità sonora
Il decibel non è un'unità di misura assoluta ma il logaritmo di un rapporto rispetto alla soglia convenzionale di udibilità \(I_0\). Due conseguenze da memorizzare:
- raddoppiare l'intensità aggiunge \(10\log_{10}2\approx 3{,}0\) dB;
- moltiplicare l'intensità per 10 aggiunge esattamente 10 dB;
- raddoppiare la distanza da una sorgente puntiforme divide \(I\) per 4, cioè toglie circa 6 dB.
| Sorgente | L (dB) | I (W/m²) |
|---|---|---|
| Soglia di udibilità | 0 | 10⁻¹² |
| Sussurro a 1 m | 30 | 10⁻⁹ |
| Conversazione | 60 | 10⁻⁶ |
| Traffico intenso | 80 | 10⁻⁴ |
| Concerto rock | 110 | 10⁻¹ |
| Soglia del dolore | 120 | 1 |
Attenzione a non confondere l'intensità (grandezza fisica oggettiva) con il volume percepito (grandezza psicofisica, dipendente anche dalla frequenza) e l'altezza del suono (legata alla frequenza) con il timbro (legato al contenuto armonico).
Effetto Doppler
Quando sorgente e osservatore sono in moto relativo rispetto al mezzo, la frequenza percepita \(f'\) differisce da quella emessa \(f\):
dove \(v\) è la velocità del suono nel mezzo, \(v_O\) e \(v_S\) le velocità di osservatore e sorgente. La regola dei segni si ricorda senza impararla a memoria: ogni moto di avvicinamento fa aumentare \(f'\), quindi si sceglie il segno che fa crescere la frazione (segno \(+\) al numeratore e \(-\) al denominatore); ogni moto di allontanamento la fa diminuire.
I due casi non sono simmetrici, e la ragione è fisica: se si muove la sorgente cambia la lunghezza d'onda emessa (i fronti si addensano davanti e si diradano dietro), se si muove l'osservatore la lunghezza d'onda resta la stessa ma cambia la velocità relativa con cui incontra i fronti.
Se \(v_S \ge v\) la formula perde significato: i fronti non riescono più a precedere la sorgente e si accumulano su una superficie conica, il cono di Mach, con semiapertura \(\sin\theta=v/v_S\). L'onda d'urto che ne risulta è il boom sonico. Un ultimo avvertimento: queste formule valgono per moti lungo la congiungente sorgente-osservatore; in generale contano le componenti radiali delle velocità.
Effetto Doppler
La sorgente (punto pieno) emette un fronte d'onda a ogni periodo. Osserva come i cerchi si addensano davanti e si diradano dietro: è tutta qui la spiegazione del fenomeno. L'ascoltatore fisso è il triangolo a destra.
Portando la velocità della sorgente oltre 343 m/s (Mach 1) compare il cono di Mach: la sorgente supera i propri fronti d'onda e la formula del Doppler non è più applicabile.
Intensità e livello sonoro
Sposta i cursori e osserva la legge dell'inverso del quadrato tradotta in decibel.
Esercizi
Dove non indicato diversamente, assumi vsuono = 343 m/s e I0 = 1,0 × 10⁻¹² W/m².
Sovrapposizione, interferenza, battimenti
Questa è la parte che quasi tutti trovano più astratta, e la ragione è precisa: richiede di tenere in mente due grandezze che variano contemporaneamente nel tempo e di immaginarne la somma istante per istante. Non è una difficoltà di calcolo — l'algebra è quella delle formule di prostaferesi — ma di rappresentazione mentale. Usa la simulazione affiancata alla teoria: seguire le due onde colorate separatamente prima di guardare la risultante rende il meccanismo molto più concreto.
Il principio di sovrapposizione
Poiché l'equazione delle onde è lineare, se \(y_1(x,t)\) e \(y_2(x,t)\) ne sono soluzioni, lo è anche la loro somma. In termini fisici:
Quando due onde si incontrano, lo spostamento risultante di ogni punto è la somma algebrica degli spostamenti che ciascuna onda produrrebbe da sola. E dopo l'incontro ciascuna onda prosegue immutata, come se l'altra non ci fosse: due voci che si incrociano nella stanza non si "sporcano" a vicenda. Il principio vale finché le ampiezze sono piccole (regime lineare); per onde molto intense compaiono effetti non lineari.
Interferenza di due sorgenti coerenti
Due sorgenti sono coerenti se hanno la stessa frequenza e una differenza di fase costante nel tempo. In un punto \(P\) che dista \(r_1\) e \(r_2\) dalle due sorgenti, la differenza di cammino \(\Delta r=|r_2-r_1|\) si traduce in una differenza di fase
e la condizione di interferenza, per sorgenti in fase, è
con \(n\) intero. Sommando due onde di uguale ampiezza si ottiene
L'ampiezza risultante va quindi da \(0\) (interferenza completamente distruttiva) a \(2A\) (costruttiva). Nel caso costruttivo l'intensità è quattro volte quella di una singola sorgente, non due: l'energia non viene creata, viene ridistribuita nello spazio, sottratta alle zone di minimo e concentrata in quelle di massimo.
Battimenti
Se in uno stesso punto arrivano due onde di ampiezza uguale e frequenze vicine \(f_1\) e \(f_2\), la sovrapposizione dà, per le formule di prostaferesi:
Si ottiene un'oscillazione alla frequenza media \((f_1+f_2)/2\), la cui ampiezza è modulata lentamente da un fattore che oscilla a \(|f_1-f_2|/2\). L'orecchio però percepisce l'intensità, che dipende dal quadrato dell'ampiezza: il massimo di volume si ripete due volte per ogni periodo del coseno, e quindi la frequenza dei battimenti udibili è
Due diapason da 440 Hz e 443 Hz danno un suono di 441,5 Hz che pulsa 3 volte al secondo. È esattamente il metodo con cui si accorda uno strumento: si stringe o si allenta la corda finché i battimenti rallentano fino a sparire. Se invece \(|f_1-f_2|\) supera una ventina di hertz l'orecchio smette di distinguere le pulsazioni e percepisce due suoni distinti.
Interferenza e battimenti non sono fenomeni da laboratorio. Sono i punti "morti" che senti spostandoti in una stanza con due casse acustiche accese; è il rombo pulsante di due motori quasi sincroni; è l'increspatura che appare quando due serie di onde circolari si incontrano in una pozzanghera. Ogni volta che ritrovi il fenomeno fuori dall'aula, la formula diventa un po' meno astratta.
Due onde e la loro somma
Nel riquadro superiore le due onde componenti, in blu e in arancio; in quello inferiore la risultante. Segui prima una sola onda per volta, poi guarda come si costruisce la somma punto per punto.
Le frequenze sono nell'ordine di pochi hertz per rendere il fenomeno visibile: la matematica è identica a quella di due diapason da 440 e 443 Hz, semplicemente rallentata di un fattore cento. Nel preset "Battimenti" la linea tratteggiata è l'inviluppo 2A·cos(πΔf·t): l'orecchio percepisce un massimo di volume ogni volta che l'inviluppo tocca un estremo, quindi Δf volte al secondo.
Esercizi
Dove serve, assumi vsuono = 343 m/s.
Onde stazionarie
Un'onda stazionaria nasce dalla sovrapposizione di due onde identiche che viaggiano in versi opposti — tipicamente un'onda e la sua riflessa. Il risultato non trasporta energia lungo il mezzo: il profilo non avanza, oscilla sul posto.
Riflessione agli estremi
- Estremo fisso: l'onda riflessa è invertita, subisce uno sfasamento di \(\pi\). Lì lo spostamento deve essere sempre nullo: si forma un nodo.
- Estremo libero: l'onda riflessa non è invertita. Lì lo spostamento è massimo: si forma un ventre.
La forma matematica
Sommando \(y_1=A\sin(kx-\omega t)\) e \(y_2=A\sin(kx+\omega t)\):
La struttura è essenziale: la dipendenza da \(x\) e quella da \(t\) sono fattorizzate. Il fattore \(2A\sin(kx)\) è l'ampiezza propria di ciascun punto, fissa nel tempo; il fattore \(\cos(\omega t)\) fa oscillare tutti i punti in fase fra loro. In un'onda progressiva, invece, la fase \(kx-\omega t\) lega inscindibilmente spazio e tempo, e i punti oscillano sfasati fra loro.
- Nodi: punti sempre fermi, dove \(\sin(kx)=0\), cioè \(x=n\lambda/2\).
- Ventri: punti di ampiezza massima \(2A\), dove \(|\sin(kx)|=1\), cioè \(x=(2n+1)\lambda/4\).
- Due nodi consecutivi (o due ventri consecutivi) distano \(\lambda/2\); un nodo e il ventre adiacente distano \(\lambda/4\).
Corda con entrambi gli estremi fissi
Le condizioni al contorno (nodo a \(x=0\) e a \(x=L\)) selezionano solo certe lunghezze d'onda: nella corda deve entrare un numero intero di mezze lunghezze d'onda.
\(f_1\) è la frequenza fondamentale (prima armonica); le altre sono le armoniche superiori, tutte multiple intere di \(f_1\). È la ragione fisica per cui una corda di chitarra, accorciata a metà dal tasto, suona un'ottava sopra.
Corda o tubo con un solo estremo fisso
Con un estremo fisso (nodo) e uno libero (ventre) nella lunghezza deve entrare un numero dispari di quarti di lunghezza d'onda:
Compaiono quindi solo le armoniche dispari: \(f_1,\,3f_1,\,5f_1,\dots\)
Tubi sonori
Nei tubi vale lo stesso schema, ma occorre chiarire una cosa che genera molta confusione: le condizioni al contorno si scrivono in termini di spostamento delle particelle d'aria.
- Estremo aperto: l'aria è libera di muoversi → ventre di spostamento (e nodo di pressione, perché lì la pressione resta quella atmosferica).
- Estremo chiuso: l'aria non può muoversi → nodo di spostamento (e ventre di pressione).
A parità di lunghezza, un tubo chiuso suona un'ottava sotto uno aperto (\(v/4L\) contro \(v/2L\)) e ha uno spettro privo delle armoniche pari: è la ragione per cui un clarinetto (tubo chiuso a un'estremità dall'ancia) e un flauto (tubo aperto) di lunghezza simile hanno registro e timbro così diversi.
Nella pratica il ventre non cade esattamente sul bordo, ma poco oltre: si introduce la correzione di estremità \(\Delta L\approx 0{,}6\,r\), con \(r\) raggio del tubo. Nei problemi scolastici si trascura, salvo indicazione contraria.
Risonanza e timbro
Se si sollecita il sistema a una frequenza qualsiasi non si osserva alcuna onda stazionaria apprezzabile: solo in corrispondenza delle frequenze proprie \(f_n\) le riflessioni successive si sommano in fase e l'ampiezza cresce. È la risonanza, e la simulazione della prossima scheda la mostra in modo diretto. Uno strumento reale eccita simultaneamente più armoniche: le loro ampiezze relative — l'analisi che Helmholtz introdusse per primo — costituiscono il timbro, ciò che distingue due strumenti che suonano la stessa nota.
Modi normali di corde e tubi
Muovi lentamente il cursore della frequenza: l'ampiezza resta quasi nulla finché non incontri una frequenza propria, dove il sistema entra in risonanza. È così che funziona davvero uno strumento musicale.
Nei modi "tubo" la curva rappresenta lo spostamento longitudinale dell'aria, non un movimento trasversale: un ventre indica aria che oscilla avanti e indietro con grande ampiezza, un nodo aria ferma. Nota che nei tubi chiusi le armoniche pari sono semplicemente assenti.
Esercizi
Dove non indicato diversamente, assumi vsuono = 343 m/s e trascura la correzione di estremità.